基本运算

取模(mod)取余(rem)

定义

  • 给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 :
  • n = kp + r ;
  • 其中 k、r 是整数,且 0 ≤ r
  • 对于正整数 p 和整数 a,b,定义如下运算:
  • 取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。
  • 模p加法: a+b算术和除以p的余数。(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
  • 模p减法: a-b算术差除以p的余数。(a – b) % p = (a % p – b % p) % p
  • 模p乘法: ab算术乘法除以p的余数。(a b) % p = (a % p * b % p) % p

由以上定义易证欧几里得算法的正确性

  • 定义(n,p)为n和p的最大公约数,要证明欧几里得算法正确性即证明(n,p)=(p,r);
  • 设n,p的公因数为g,则g|n且g|p,由n = kp + r 得到g|r(‘|’为整除);
  • 则n和p的最大公约数也是p和r的最大公约数.

取模和取余的区别

对于整型数a,b来说,取模运算或者取余运算的方法都是:

  1. 求 整数商: c = a/b;
  2. 计算模或者余数: r = a – c*b.
    求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时,向0 方向舍入,而取模运算在计算c的值时,向负无穷方向舍入。

例如:

  • 10 mod(-4)=-3
  • 10 rem(-4)=-2

归纳:

  • 当a和b符号一致时,求模运算和求余运算所得的c的值一致,因此结果一致。
  • 当符号不一致时,结果不一样。求模运算结果的符号和b一致,求余运算结果的符号和a一致。

整除

若a除以b(b不等于0,a、b都为整数),商为整数且余数为0,则叫做a能被b整除或者b能整除a,记作b|a

整除的基本性质

①若a|b,a|c,则a|(b±c)。
②若a|b,则对任意c(c≠0),a|bc。
③对任意非零整数a,±a|a=±1。
④若a|b,b|a,则|a|=|b|。
⑤如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除。
⑥如果a同时被b与c整除,并且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反过来也成立。a|bc,(a,b)=1 => a|c

对任意整数a,b,b>0,存在唯一的数对q,r,使a=bq+r,其中0≤r
若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数。若d是a,b的公因数,d≥0,且d可被a,b的任意公因数整除,则d是a,b的最大公因数。若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素,也称互质。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。


同余

设m是大于1的正整数,a、b是整数,如果(a-b)|m,则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a与b对模m同余.

性质

  1. 反身性 a≡a (mod m)
  2. 对称性 若a≡b(mod m),则b≡a (mod m)
  3. 传递性 若a≡b (mod m),b≡c (mod m),则a≡c (mod m)
  4. 同余式相加 若a≡b (mod m),c≡d(mod m),则a±c≡b±d (mod m)
  5. 同余式相乘 若a≡b (mod m),c≡d(mod m),则ac≡bd (mod m)

最大公约数(gcd 即 Greatest Common Divisor)

最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

性质

记gcd=gcd(a,b)

  1. a=mgcd(a,b),b=ngcd(a,b),则(m,n)=1,即m和n互素
  2. gcd一定可以表示为a和b的线性组合,即ax+by=gcd
  3. gcd是a和b的线性组合所能表示出的最小正整数

gcd怎么求?

欧几里得算法(辗转相除法)

int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}

由性质2得出该方程一定有解,因此引入扩展欧几里得算法

  • extend_gcd(a,b)表示求出ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y)
  • 由a=(a/b)b+a%b得((a/b)b+a%b)x+by=gcd(a,b)即((a/b)x+y)b+x*(a%b)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)
  • 设extend_gcd(b,a%b)求出的一组解为(x2,y2)
  • x=y2,y=x2-(a/b)y2那么extend_gcd(a,b)的解可以用(y2,x2-(a/b)y2)表示

扩展欧几里得算法

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y){

        int d=a;
        if(b!=0){
            d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
            y-=(a/b)*x;
        }
        else{
            x=1;
            y=0;
        }
        return d;
}

由扩展欧几里得计算出的(x,y)不是方程ax+by=gcd(a,b)的唯一解,因为对任意整数k,令g=gcd(a,b)

  • a(x+k(b/g))+b(y-k(a/g))=ax+by+kab/g-kab/g=g
  • 即(x,y)如果为ax+by=g的一组解,那么(x+k(b/g),y-k(a/g))也是一组解。
  • 用扩展欧几里得算法可以求出满足ax+by=gcd(a,b),x1≤x≤x2,y1≤y≤y2的所有解

最小公倍数

若有一个数X,可以被另外两个数A、B整除,且X大于(或等于)A和B,则X为A和B的公倍数。A和B的公倍数有无限个,而所有的公倍数中,最小的公倍数就叫做最小公倍数。两个整数公有的倍数称为它们的公倍数,其中最小的一个正整数称为它们两个的最小公倍数。同样地,若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。记作lcm(A,B),其中lcm是英语中“最小公倍数”一词(lowest common multiple)的首字母缩写。

lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b


一元线性同余方程ax≡b(mod c)

  1. ax≡b(mod c)该方程有解,当且仅当b能被a与c的最大公约数整除,记作gcd(a,c)|b,记g=gcd(a,c)。
  2. 如果x为该方程的解,那么该方程所有的解可以表示为{x+k*c/g |k∈Z}
  3. 上述方程等价于ax+cy=b
  4. b%g!=0则方程无解 例如:3x≡2(mod 6) gcd(3,6)=3 3不整除2,方程无解。
  5. b%g=0时,用扩展欧几里得算法可以求出(x,y),使得ax+cy=g,则a(b/g)x+c(b/g)y=b,所以x=x(b/g)为该方程的一个解,进而可知原方程的所有解可以表示为{x+k(c/g) | k∈Z}。
  6. 求特殊解:由5可知,x=x*(b/g)是该方程的一个解,其他解都关于c/g与x同余,在模c下,共有c/g个解。

例如:

12x ≡ 20 (mod 28)中,g=gcd(12.28)=4,它的所有解为{4,11,18,28},关于7与x同余。记mod=c/g最小正整数解可以表示为 (x%mod+mod)%mod

Code

int linear(int a,int b,int c){

    int x,y;
    int g=extend_gcd(a,c,x,y);
    if(b%g)
        return -1;
    x=x*(b/g);
    int mod=c/g;
    x=(x%mod+mod)%mod;
    return x;

}

素数的筛选

  • 素数:若一个大于1的整数除1和本身外无其他因子,则这个数是素数
  • 合数:若一个大于1的整数不是素数,则其是合数
  • 1既不是素数也不是合数

最经典的一种筛法-埃氏筛法(埃拉托斯特尼筛法)

核心思想:如果i是素数,那么对于所有的j≥2,i*j都不是素数

Code

int prime[maxn],res;
bool is_prime[maxn];
void get_prime(int n){
    res=0;
    memeset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
    is_prime[0]=is_prime[1]=1;
    for(int i=2;i

素因子分解

任意一个正整数都能分解成若干个素数乘积的形式

给定一个整数n,n可以表示为n=(p1^a1)(p2^a2)……*(pi^ai)的形式
pi为素数且互不相等。

Code

int fact[maxn][2],cnt;
void get_factor(int n){

    cnt=0;
    for(int i=2;i*i1) fact[cnt][0]=n,fact[cnt++][1]=1;

}

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